Задачи по математике

Теория вероятностей – очень важная, но далеко не самая простая область математики, и решать задачи на эту тему отнюдь не просто. Как утверждал Цицерон «Вероятностные знания – вот предел человеческого разумения». И правда, часто можно наблюдать на практике, что именно с этим разделом математики связаны наибольшие затруднения у студентов. Да и не только у студентов: даже у отцов-основателей этой науки нередко возникали проблемы с пониманием некоторых моментов.

Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости, рулетка). Первоначально ее основные понятия не имели строгого математического вида, а представляли собой некоторые эмпирические факты, формулируемые в наглядных представлениях. Первые работы ученых в области теории вероятностей относятся к XVII веку, когда Блез Паскаль и Пьер Ферма, исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх, открыли первые вероятностные закономерности, возникающие при бросании костей.

При решении математических задач довольно часто приходится иметь дело с различными множествами и подмножествами, определять их число и устанавливать взаимосвязь между их элементами. Такие задачи обычно встречаются в теории вероятности и в математической статистике. Одним из разделов теории вероятности является комбинаторика.

Комбинаторика – это ветвь математики, изучающая комбинации и перестановки предметов. С комбинаторными задачами люди часто встречались еще в доисторическую эпоху, выбирая оптимальное положение охотников во время охоты, воинов – во время битвы и инструментов – во время работы. Сейчас пищу для комбинаторных размышлений математиков дают азартные игры, шифры и многое другое. В комбинаторике решаются задачи, связанные с рассмотрением множеств и составлением различных комбинаций из элементов этих множеств. В зависимости от правил составления выделяют три типа комбинаций: перестановки, размещения и сочетания.

Попробуйте решить следующие несложные задачи с элементами комбинаторики.

Знаменитую задачку Эйнштейна про англичанина, шведа, француза, немца и датчанина, в которой спрашивается, кто же из них держит дома рыбку, наверное, уже все пробовали разгадать. Считается, что Эйнштейн утверждал, что лишь два процента населения земного шара способны ее решить без использования бумаги и каких-либо электронных носителей, иными словами просто в уме. Решить в уме эту задачу, не прибегая ни к каким пометкам, действительно чрезвычайно сложно, ведь при этом приходится оперировать в уме закономерностями, связанными сразу с пятью признаками.

Этот тип задачек весьма увлекателен и для того, чтобы не повторяться, ведь саму загадку Эйнштейна в первоначальном варианте видели уже многие, здесь будут приведены еще три подобные загадки, но видоизмененные. Так что наслаждайтесь и проверяйте, относитесь ли вы к тем самым заветным двум процентам:

Задачи бывают разные: от очень простых, решить под силу которые каждому первокласснику, до неимоверно сложных, решить которые удается единицам. К последним и относятся семь знаменитых задач века, за решение каждой из которых Институт математики Клэя (США) обещает один миллион долларов. Эксперты считают, что решение задач имеет исключительно большое значение для развития целых областей современной науки, а также может произвести настоящую революцию в области компьютерной безопасности. Список из семи задач составлен Институтом Клэя на основе так называемых проблем Гильберта, выдвинутых великим немецким ученым Давидом Гильбертом еще сто лет назад. Правда, нерешенными на данный момент остались уже не семь, а шесть задач. Так что поторопитесь!

Первая задача – гипотеза Римана о распределении нулей дзета-функций Римана. Остается недоказанной с 1859 года, когда немецкий математик Риман выдвинул предположение относительно свойств последовательности простых чисел. Знаменит ответ Гильберта на вопрос о том, каковы будут его действия, если он по какой-либо причине проспит пятьсот лет и вдруг проснется.

Время – одна из основных концепций физики и философии. С физической точки зрения время представляет собой одну из координат пространства-времени, вдоль которой протянуты мировые линии физических тел. С точки зрения философов время – это необратимое течение из прошлого, через настоящее в будущее, внутри которого происходят все существующие в бытии процессы, являющиеся фактами.

Время – это удивительный феномен, с которым связано множество теорий, легенд и рассуждений. Кто-то из великих заметил: «Ничто не принадлежит мне так полно, как мое время, и, в то же время, ничто не подвластно мне так мало, как мое утекающее время». А британский физик Джулиан Барбур говорил: «Если вы попытаетесь ухватиться за время, оно всегда будет утекать сквозь ваши пальцы». И ведь действительно, в то время, как это утверждение еще звучит в комнате, говорящий уже не имеет никакой связи с самим собой секунду назад. Так значит время эфемерно? Об этом можно рассуждать долго. Но мы сейчас не будем касаться философских рассуждений о времени, а попробуем решить логические задачи, напрямую связанные с этим удивительным понятием.

Наверняка вы сами сталкивались с тем, что долго не могли решить простую детскую задачку. Хотя, казалось бы, что стоит человеку, сумевшему одолеть даже премудрости высшей математики, решить задачу, предназначенную для младших школьников. Конечно же, он найдёт правильный ответ, но может затратить гораздо больше времени, пойдя по сложному пути, или же, посчитав задачу тривиальной, дать сходу неверный ответ.

Очень полезной как для школьников, так и для студентов и даже профессоров будет книга «Задачи для детей от 5 и 15 лет», написанная Владимиром Игоревичем Арнольдом (знаменитый советский, российский и французский математик, доктор физико-математических наук, в прошлом вице-президент Международного математического союза). Вот что говорит он в аннотации к своей книге: «Я заметил даже, что пятилетние дети решают подобные задачи лучше школьников, испорченных натаскиванием, которым они даются легче, чем студентам, подвергшимся зубрёжке в университете, но всё же превосходящим своих профессоров (хуже всех решают эти простые задачи нобелевские и филдсовские лауреаты).»

Что ж, так оно или не так, мы не знаем, зато можем наверняка проверить, вызовут ли эти задачи вопросы у Вас. Свои ответы оставляйте в комментариях, а правильные варианты я выложу чуть позже.

Когда решаешь логические задачи, очень важно внимательно прочитать задание и выбрать оптимальный ход решения. В противном случае можно потратить много лишнего времени на тяжёлый и неоправданный обходной путь. Вот яркий пример задачки, которая решается моментально, если сразу пойти по верному пути:

Два поезда, расстояние между которыми равно 600 км, едут по прямой навстречу друг другу, со скоростью 60 км в час каждый. Между ними по направлению от одного поезда к другому летает муха со скоростью 120 км в час. Какое расстояние пролетит муха до встречи поездов? Заметьте, в задаче не указана точка, из которой муха начинает свой полет, но он начинается одновременно с началом движения поездов.

А вот задачка посложнее:
У Пети 28 одноклассников. У них различное число друзей в этом классе. Сколько друзей у Пети?
Здесь имеется в виду, что если Сергей тебе друг, то и ты Сергею тоже являешься другом. То есть чистая взаимная дружба.

А хотите проверить свои потенциальные возможности? Про следующую задачу в конце 80-х напечатали в какой-то газете, что её предлагают претендентам на работу в корпорации «Форд»:

Хотите научиться отличать правду от лжи? Понять, наконец, что же скрывается за фальшивыми фразами и обманчивыми заверениями? Ага, ещё бы, кто этого не хочет.
Психологи советуют следить за глазами, мимикой и жестами собеседника, судья улавливает сакральный смысл в словах обвиняемого, а математики придумывают занимательные задачки о «правде и лжи». Из текста загадки путём логических рассуждений можно понять, кто говорит правду, а кто нагло обманывает.
Предлагаю вам самим потренироваться разбираться в сложных человеческих отношениях на основе достаточно простых познавательных задачек. Что называется, совместим полезное с приятным!

Задача на смекалку. Как избежать смертельной угрозы?
В неком городе ввели новый порядок. И теперь каждого, кто хотел попасть в город, на входе останавливала стража и задавала один и тот же вопрос: "Зачем ты хочешь войти в город?" Если человек в ответ на этот вопрос говорил правду, то его топили в пруду, а если неправду - вешали на виселице. Перспектива не из лучших. Долгое время никто не мог войти в город, пройдя через это испытание. Но нашелся такой человек, который сказал, что он сможет пройти, не будучи утопленным в пруду или повешенным на виселице.

Умение логически мыслить – важное качество, позволяющее нам эффективно общаться и понимать друг друга. Это инструмент, с помощью которого выстраивается правильный и закономерный ход рассуждений. Естественно, логику можно и нужно развивать, причём осуществлять это нужно с самого детства. Отличные помощники в этом – кроссворды, загадки, игры-стратегии, и, конечно же, логические задачки. Наибольшая их прелесть состоит в том, что для решения не нужно обладать знаниями по высшей математике и вообще можно ограничиться стартовыми арифметическими навыками.

Весьма популярны логические задачи по типу «установи соответствие между элементами множеств». Их классически принято решать с помощью таблиц и графиков. Такой способ значительно облегчит поиск верного ответа. Самая известная задача этого типа – задача Эйнштейна. Учёный полагал, что эту задачку смогут решить в уме лишь 2% населения. Таким образом найти решение действительно трудно, вероятнее всего придётся продолжительное время попотеть с листком бумаги.

Факультет радиофизики и электроники БГУ
Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу.
Бахтин В.И.

Авторские права принадлежат
Шукайло Александру
Федорову Роману
Колопенько Светлане

Еще одно задача из тех, что задают на собеседовании при приеме на работу в компанию Майкрософт (Microsoft). Если вы действительно хотите попасть в эту компанию, то подобные задачи должны решать за 10 секунд. В противном случае, даже на испытательный срок претендовать не приходится.

Факультет прикладной математики и информатики Белорусского государственного университета проводит олимпиаду по математике и информатике для учащихся старших классов. Для 11 класса в первом туре олимпиады предлагаются следующие задачи:

Факультет прикладной математики и информатики Белорусского государственного университета проводит олимпиаду по математике и информатике для учащихся старших классов. Для 9-10 класса в первом туре олимпиады предлагаются следующие задачи:

Факультет прикладной математики и информатики Белорусского государственного университета проводит олимпиаду по математике и информатике для учащихся старших классов. Для 7-8 класса в первом туре олимпиады предлагаются следующие задачи: