Задачи с элементами комбинаторики

При решении математических задач довольно часто приходится иметь дело с различными множествами и подмножествами, определять их число и устанавливать взаимосвязь между их элементами. Такие задачи обычно встречаются в теории вероятности и в математической статистике. Одним из разделов теории вероятности является комбинаторика.

Комбинаторика – это ветвь математики, изучающая комбинации и перестановки предметов. С комбинаторными задачами люди часто встречались еще в доисторическую эпоху, выбирая оптимальное положение охотников во время охоты, воинов – во время битвы и инструментов – во время работы. Сейчас пищу для комбинаторных размышлений математиков дают азартные игры, шифры и многое другое. В комбинаторике решаются задачи, связанные с рассмотрением множеств и составлением различных комбинаций из элементов этих множеств. В зависимости от правил составления выделяют три типа комбинаций: перестановки, размещения и сочетания.

Попробуйте решить следующие несложные задачи с элементами комбинаторики. Для их решения вам не понадобится никаких специальных навыков, достаточно базовых математических навыков и логического мышления. Варианты ответов оставляйте в комментариях.

1. В школьной столовой на первое можно заказать борщ, солянку, грибной суп, на второе – мясо с макаронами, рыбу с картошкой, курицу с рисом, а на третье – чай и компот. Сколько различных ответов можно составить из указанных блюд?
2. На свой день рождения Лена пригласила в гости трех лучших подруг: Настю, Олю и Аню. Когда все собрались, то по случаю торжества решили обняться – каждая пара по одному разу. Сколько разных пар получилось?
3. На пустую шахматную доску нужно поместить две шашки разного цвета. Сколько различных положений они могут занимать на доске?
4. В ящике лежат 70 шаров: 20 красных, 20 синих, 20 желтых, остальные –черные и белые. Какое наименьшее число шаров надо взять, не видя их, чтобы среди них было не меньше 10 шаров одного цвета?
5. У людоеда в подвале томятся 25 пленников. Сколькими способами он может выбрать трех их них себе на завтрак, обед и ужин? А сколькими способами он может выбрать троих, чтобы отпустить на свободу?