Задачи олимпиады ФПМИ (9-10 класс) | Mozg.BY | Централизованное тестирование (ЦТ), задачи, тесты, олимпиады
Поступаем вместе!

Меню

Облако тегов:

Ссылки:





           

Задачи олимпиады ФПМИ (9-10 класс)

Факультет прикладной математики и информатики Белорусского государственного университета проводит олимпиаду по математике и информатике для учащихся старших классов. Для 9-10 класса в первом туре олимпиады предлагаются следующие задачи:

1. Сколько существует пятизначных чисел, делящихся на 3, в десятичной записи которых встречается цифра 6?

2. а) Найдите все пары целых чисел (х, у), удовлетворяющих уравнению:

б) Сколько решений в целых числах имеет уравнение:

3. Словарь людоеда из племени «Мумбо-Юмбо» составляет 300 слов. Эллочка Щукина легко и свободно обходилась тридцатью. Однажды людоед начал посещать проповеди миссионера, поэтому его словарный запас стал, оставаясь целочисленным, увеличиваться на некоторое число p процентов за каждые полгода. Эллочка поступила в вечернюю школу и каждый месяц стала узнавать целое число новых слов, равное 50 % от того количества слов, которое людоед знал к концу первого полугодия. Однако через несколько месяцев Эллочка бросила школу. Какое наибольшее целое число месяцев могла проучиться Эллочка в школе, чтобы при этих условиях, независимо от величины p, словарь людоеда после одного года посещения проповедей остался богаче словаря Эллочки?

4. Равносторонний треугольник ФПМ с вершинами Ф, П и М разрезан на меньшие треугольники, прямыми, параллельными сторонам исходного треугольника, причем каждая сторона оказалась разделенной на одинаковой число равных между собой частей. Все вершины получившихся треугольников выкрашены в один из трех цветов: фиолетовый (Ф), перламутровый (П) и малиновый (М). Известно, что вершина Ф — фиолетовая, П — перламутровая, М — малиновая, а также, что все точки деления, лежащие на стороне ФП — фиолетового или перламутрового цвета, на стороне ПМ — перламутрового или малинового цвета, на стороне ФМ — фиолетового или малинового цвета. Докажите, что хотя бы один из маленьких треугольников имеет вершины всех трех цветов и что таких треугольников нечетное число.

5. В концах диаметра окружности стоят единицы. Зафиксировав один из концов диаметра, совершим по окружности п оборотов, причем, после прохождения каждой имеющейся в данный момент дуги, делим ее пополам и в середине записываем число 2х + 3у, где х и у — числа, стоящие на концах исходной дуги, взятые в порядке направления обхода. Найдите сумму всех записанных чисел.

6. Во всех клетках прямоугольной таблицы 2008x2 (2008 строк и 2 столбца) расставлены натуральные числа. Допускаются следующие операции:
1) удвоить все числа одного столбца (любого) или
2) вычесть единицу из всех чисел или прибавить единицу ко всем числам одной строки (любой).
Можно ли за конечное число допустимых операций получить во всех клетках таблицы число, равное наибольшему общему делителю всех исходных чисел? Если нет, то докажите, если да, то дайте словесное описание алгоритма как это получить.

Решения задач первого тура нужно оформить в обычной ученической тетради четким разборчивым почерком (рисунки и схемы могут быть исполнены карандашом или шариковой ручкой). На обложке тетради указываются фамилия, имя, отчество автора, полный домашний адрес с почтовым индексом, номер домашнего телефона, полное название учебного заведения и класс. Тетрадь следует отправить или представить непосредственно в оргкомитет по адресу: "Олимпиада ФПМИ", ФПМИ БГУ, пр. Независимости, 4, 220030, г.Минск

Прием работ первого тура – до 27 марта 2008 г.

             
MOZG.by (C), 2007-2008 admin@mozg.by