Поступаем вместе!

Меню

Облако тегов:

Ссылки:





           

Задачи олимпиады ФПМИ (11 класс)

Факультет прикладной математики и информатики Белорусского государственного университета проводит олимпиаду по математике и информатике для учащихся старших классов. Для 11 класса в первом туре олимпиады предлагаются следующие задачи:

  1. Найти наименьшее значение функции , определенной на множестве натуральных чисел и удовлетворяющей следующим равенствам:

    f\left(1\right) = \cos 2,\ f\left(n+1\right)=f\left(n\right)\cdot\cos 1 - \sqrt{1 - \left(f\left(n\right)\right)^2}\cdot\sin 1,\ n\in \mathbb{N}

  2. Радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен R, угол ABC=a. Прямая, проходящая через вершину B и центр O вписанной в треугольник ABC окружности, пересекает описанную окружность в точке E. Найти длину отрезка OE.
  3. Словарь людоеда из племени «Мумбо-Юмбо» составляет 300 слов. Эл-лочка Щукина легко и свободно обходилась тридцатью. Однажды людо-ед начал посещать проповеди миссионера, поэтому его словарный запас стал, оставаясь целочисленным, увеличиваться на некоторое число p процентов за каждые полгода. Эллочка поступила в вечернюю школу и каждый месяц стала узнавать целое число новых слов, равное 50 % от того количества слов, которое людоед знал к концу первого полугодия. Однако через несколько месяцев Эллочка бросила школу. Какое наибольшее целое число месяцев могла проучиться Эллочка в школе, чтобы при этих условиях, независимо от величины p, словарь людоеда после одного года посещения проповедей остался богаче словаря Эллочки?
  4. В основании прямой треугольной призмы лежит прямоугольный треугольник, катеты которого равны a и b. Некоторая плоскость пересекает все боковые ребра призмы так, что в сечении получается правильный треугольник. Определите сторону этого треугольника.
  5. В концах диаметра окружности стоят единицы. Зафиксировав один из концов диаметра, совершим по окружности п оборотов, причем, после прохождения каждой имеющейся в данный момент дуги, делим ее пополам и в середине записываем число 2х + 3у, где х и у — числа, стоящие на концах исходной дуги, взятые в порядке направления обхода. Найдите сумму всех записанных чисел.
  6. Во всех клетках прямоугольной таблицы, имеющей 2008 строк и 2007 столбцов, расставлены натуральные числа. Допускаются следующие операции:
    1. удвоить все числа одного столбца (любого) или
    2. вычесть единицу из всех чисел одной строки (любой)

    Можно ли за конечное число допустимых операций получить во всех клетках таблицы число нуль. Если нет, то докажите, если да, то дайте словесное описание алгоритма, как это получить.

Решения задач первого тура нужно оформить в обычной ученической тетради четким разборчивым почерком (рисунки и схемы могут быть исполнены карандашом или шариковой ручкой). На обложке тетради указываются фамилия, имя, отчество автора, полный домашний адрес с почтовым индексом, номер домашнего телефона, полное название учебного заведения и класс. Тетрадь следует отправить или представить непосредственно в оргкомитет по адресу: "Олимпиада ФПМИ", ФПМИ БГУ, пр. Независимости, 4, 220030, г.Минск

Прием работ первого тура – до 27 марта 2008 г.

             
MOZG.by (C), 2007-2008 admin@mozg.by